Los articulos de Xenia Cachafeiro Corchuelo











{abril 16, 2007}   LAS MATEMATICAS DE LA MUSICA

Una idea musical se convirtió en una nueva tecnología de matemáticas, ingeniería y computación. Es una herramienta que une arte y ciencia, con la cual se pueden conocer nuevos sonidos entre las siete notas musicales que, con sus sostenidos, se convierten en los doce tonos que conocemos. Se llama Sistema de Análisis y Composición Musical (Saycomus) y es un logro de dos dependencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

Todo empezó cuando el músico Julio Estrada, académico del Instituto de Investigaciones Estéticas, recurrió al Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y Sistemas (IIMAS) para buscar la forma de analizar un espectro musical, una secuencia de notas que se producen a intervalo intermedio. Él quería saber qué pasaba entre cada nota, y los ingenieros Mario Peña Cabrera y Román Osorio Comparán, investigadores del IIMAS, crearon el aparato que le daría la respuesta: una tecnología para componer “música informática”.

La computadora, un instrumento musical

La música electrónica y computarizada tiene un gran auge en nuestros días. En general, se divide en dos categorías: la producción de métodos de sonido, lo que conocemos como sintetizadores comerciales, y los métodos de composición, en los que centraron su investigación los ingenieros del IIMAS.

El sistema de análisis y composición musical fue diseñado “con el propósito de tener una herramienta en una versión de computadora personal compatible, que permitiera analizar obras musicales de forma automatizada, así como contar con una base de datos para la clasificación de acordes al alcance de usuarios músicos e investigadores en el área”, explica el ingeniero Román Osorio, del Departamento de Ingeniería en Sistemas Computacionales y Automatización del IIMAS.<

Para trasladar notas musicales a un sistema computarizado, lo ideal fue recurrir a un sistema numérico. “Se trata de un análisis matemático de las secuencias de notas y de su ordenación numérica en forma de nodos, es decir, de anexar una serie de notación musical para producir una armonía, y saber cómo se comporta esa unión”, comenta el ingeniero Osorio. Añade que la “teoría del potencial interválico”, original del músico Luis Estrada (y cuya inquietud principal era saber cuáles son esos sonidos intermedios entre cada nota), fue trasladada por los ingenieros a un lenguaje de algoritmos matemáticos, gracias al cual los sonidos intermedios entre cada nota se localizan en una gráfica de computadora y luego pueden escucharse.

Así, Mario Peña y Román Osorio crearon el sistema Saycomus, diseñado en torno a tres funciones: aplicar la teoría del “espectro interválico” creada por Julio Estrada; construir un instrumento en el que se pudieran introducir datos al sistema en forma de trayectorias tridimensionales en un espacio definido de trabajo, e interactuar con programas secuenciadores para poder componer música y obtener todas las ventajas que representa la tecnología musical actual desarrollada con base en la interfase MIDI, un aparato que hace la función de un “traductor” entre la electrónica del cómputo y la acústica musical, logrando producir los sonidos intermedios que antes eran sólo números en una gráfica.

Saycomus incluyó el desarrollo de tecnología en forma de hardware y software, integrados en un solo sistema que se opera basándose en listados o menús.

Entre el sonido y la electrónica

Para desarrollar la secuencia de notas que se producen a intervalo intermedio, los ingenieros comenzaron analizando lo que llamaron “módulo doce”, es decir, la escala desde un Do a un Do en una octava, incluyendo sus cinco sostenidos. Esto es fácil de apreciar en un piano: una octava incluye las notas Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si y de nuevo un Do, es decir, ocho sonidos (que son las teclas blancas); asimismo, en el “módulo 12” se incluyen los sonidos se incluyen los sonidos intermedios, conocidos como “sostenidos o bemoles” (teclas negras y cortas).

Al introducir en forma numérica los datos del módulo doce en la computadora, la representación gráfica que aparece es una especie de árbol de Navidad acostado, cuya estructura respeta una disposición geométrica. En el espectro interválico que aparece en el árbol, cada nodo es una “asociación interválica”, es decir, una reducción al mínimo que representa la manera de sonar de cada una de las posibles combinaciones, desde uno hasta doce.

“Solamente del diseño matemático del módulo doce se obtuvieron 77 nodos, cada uno de los cuales corresponde a una composición de sonidos diferentes”, explica Román Osorio, quien en la gráfica muestra además cuáles nodos son compatibles con otros, “es decir, cuáles sonidos intermedios son armónicos entre sí y pueden ser utilizados por los músicos para crear nuevas composiciones”.

Además de composición con novedosos sonidos, esta gráfica de nodos puede servir para analizar obras ya conocidas, por ejemplo de los grandes clásicos de la música, e identificar en qué rangos acústicos trabajaban.

El espectro interválico presenta en la computadora la clasificación de acordes, de una manera gráfica y ordenada, y dentro de este sistema es posible navegar por un conjunto de combinaciones de acordes, para diferentes módulos (divisiones iguales dentro de una octava) y pudiendo en cada uno de ellos hacer una visita de información particular, que permite al músico usuario conocer cuál es la notación de ese acorde en el pentagrama, cuál es su asociación interválica y en qué nivel del espectro acústico se encuentra.

Además de esta “radiografía musical”, cada uno de los acordes puede ser sonorizado por medio de una liga al programa “Adagio”, que se auxilia, para lograrlo, de la interfase MIDI (siglas de Musical Instrument Digital Interfase).

La interfase MIDI es un aparato fundamental en este proceso, pues por su conducto la representación numérica del espectro musical puede trasladarse a sonido. Creado en 1982 y adaptado en el sistema Saycomus, es una especie de traductor entre la computadora y el sintetizador, entre la electrónica y la acústica, entre el lenguaje abstracto de las matemáticas y el lenguaje concreto de las notas musicales. La interfase MIDI utiliza formatos particulares para sus comunicaciones, manejando primordialmente los parámetros básicos de la música: frecuencia, amplitud, timbre y ritmo.

“La parte sustancial del trabajo se refiere al análisis que se realiza de los datos obtenidos, los cuales para su comprensión se organizan y presentan en forma gráfica en la pantalla de la computadora para su análisis rápido y continuo de la información que sea necesario procesar”, comenta el ingeniero Román Osorio, quien profundiza: “La interfase se encarga de realizar la producción del sonido analizado en el método de composición musical. Esto lleva al músico a interpretar y examinar los datos obtenidos y así determinar el tipo de investigación que le convenga. Nuestra idea es que esta tecnología sea una herramienta para el músico aplicable en el campo de la composición musical, en la educación y en la investigación de nuevos sistemas armónicos en el análisis de los microtonos”. Como la matemática permite ir siempre a lo más pequeño, en el Saycomus es posible estudiar medios tonos, cuartos, sextos y hasta octavos de tono.

Como el vuelo de una mosca

Para poder explorar estructuras musicales y realizar composiciones en diferentes módulos interválicos (diferentes al módulo doce) que incluyan microtonos, los ingenieros del IIMAS-UNAM crearon un instrumento de entrada de datos que representa los parámetros musicales de frecuencia, amplitud y timbre para diferentes resoluciones y para el caso extremo del “módulo 36”.

Este instrumento digitalizador de posiciones tridimensionales es un cubo, en cuyo espacio se mueve una especie de bolígrafo, con una esfera en la punta. Se llama “Eua Ollin”, nombre nahuatl que significa “vuelo de mosca”, pues el ejercicio del usuario dentro del cubo consiste en realizar su propio “vuelo” dentro del espacio que determina el cubo. Como si fuera la batuta de un director de orquesta, la herramienta con punta de esfera puede ser movida al gusto del usuario dentro del cubo.

La dimensión de la esfera dentro del cubo representa la digitalización de un punto en el espacio, cuyas coordenadas tridimensionales son los parámetros musicales de amplitud, frecuencia y timbre.

La digitalización para lograr de este “vuelo de mosca” un sonido, se logra por medio de una cámara de televisión que puede formar archivos de las coordenadas de los movimientos tridimensionales, utilizando algoritmos matemáticos que transforman esa información a formatos MIDI compatibles, para que el músico pueda escuchar su ejercicio de “vuelo”.

El Saycomus representa una herramienta muy útil para analizar y componer obras musicales por medio de computadora, pues mediante datos matemáticos puede crear, a voluntad del artista, nuevas estructuras musicales desde el punto de vista sonoro, rítmico, melódico y armónico. 3 8

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{abril 16, 2007}   ¿ COMO SE PRODUCE LA MUSICA?

La Música y las Matemáticas

Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico – una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su “altura” o frecuencia. Imaginémonos una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuanto más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o “alta” será la nota musical resultante. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las cuales denominaremos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes “octavas”, sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas.

Se puede definir un etalón, o sea, una nota estándard, de la cual podemos derivar todas las otras notas. La distancia musical que separa alguna nota de la del etalón, la denominaremos escala (pitch en inglés). El oído humano es un “instrumento” muy sensible, y en ciertas condiciones es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 Hz hasta 20,000 Hz, aúnque el diapasón musical es significativamente menor – hasta unos 4,500 Hz. Los sonidos más agudos, aunque son audibles, se escuchan como ruidos, silbatos o timbres brillantes de los sonidos musicales. Dentro de ese diapasón, el oído puede distinguir los sonidos cuyas frecuencias difieren en un solo Hertz. Podríamos suponer que la música debería contar con unas 4,000 notas… Pero en realidad, las 88 teclas del piano es casi todo lo que tenemos.

El siguiente esquema muestra un fragmento del teclado de piano, a cada tecla le corresponde una nota musical. La última columna indica la frecuencia correspondiente (en Hertz):

Piano En este esquema se puede ver que las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras), y estos grupos se repiten de izquierda a derecha. Cada octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical entre esas teclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1 – esto es, la frecuencia de la misma nota de siguiente octava es el doble, y la de octava anterior es la mitad. La distancia de dos octavas le corresponde a la relación de frecuencias de 4:1, tres octavas – 8:1 etc.: para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias. La nota “La” (o “A”) es la nota de etalón – su frecuencia es 440 Hz.

Dentro de cada octava, pareciera que las frecuencias de las notas son esporádicas y no siguen ninguna regla… En realidad existe un sistema bien definido. En adelante trataremos de explicar con más detalle este sistema.

Escala natural

El oído humano tiene una “construcción” tal, que los sonidos cuyas frecuencias están en la proporción simple (2/1, 3/2, 4/3 etc), suenan juntos de una manera agradable. Por otro lado, casi todos los procesos físicos que producen sonidos, además de la frecuencia principal (o el tono básico) producen también “armónicas”, es decir, las frecuencias que son dos, tres, cuatro -una cantidad entera- veces más altas. El conjunto de las armónicas constituye el timbre que es único para cada instrumento musical.

Escogeremos como base la frecuencia de 55 Hertz (esta frecuencia es absolutamente arbitraria, la única razón es que nos lleve a la frecuencia 440 Hertz que es un etalón musical contemporáneo) y vamos a multiplicarla por 2, 3, 4, etc. Obtendremos la siguiente serie:

55; 110, 165; 220, 275, 330, 385; 440, 495, 550, 605, 660, 715, 770, 825; 880

Colocaremos estas frecuencias en sus octavas correspondientes, y arreglaremos la serie en forma de una tabla: 

Octava 1 55              
Octava 2 110       165      
Octava 3 220   275   330   385  
Octava 4 440 495 550 605 660 715 770 825
Octava 5 880              
  A B C D E F G H

Observamos que la segunda octava tiene dos notas, la tercera – cuatro, y la cuarta – ocho, eso es, ¡una octava completa natural! Ahora vamos a calcular las distancias entre las notas: 

440 8:9 495 9:10 550 10:11 605 11:12 660 12:13 715 13:14 770 14:15 825 15:16 880
A4   B4   C5   D5   E5   F5   G5   H5   A5
1:1   9:8   5:4   11:8   3:2   13:8   7:4   15:8   2:1

En las celdas superiores intermedias se indica las distancias entre las frecuencias vecinas, y en las celdas inferiores, las distancias con respeto a la frecuencia principal, que en nuestro ejemplo es 440 Hz. La numeración de octavas (4-a o 5-a) corresponde al estándard contemporáneo.

El producto de todas las relaciones intermedias es igual a 2, esto es, a una octava. La serie ordenada de esta manera se conoce como escala. La escala que acabamos de construir se conoce como escala natural.

La distancia musical entre la nota principal y la segunda armónica es 2/1 – una octava. La distancia musical entre la segunda y la tercera armónica en la música se llama quinta, le corresponde la relacion de frecuencias 3/2. En nuestra escala es la distancia entre las notas A4 y E5. La distancia entre la 3-a y 4-a armónica es cuarta -con la relación 4/3-, como entre las notas E5 y A5. Estos son distancias o intervalos fundamentales en la música.

Escala pentatónica

Los músicos antiguos, que no tenían el concepto de escala natural, intuitivamente ajustaban (afinaban) las cuerdas (o en el caso de instrumentos de viento, adecuaban su longitud y grosor, distancia entre agujeros, etc.) de manera que produzcan un sonido lo más agradable posible para el oído humano.

Dentro de una octava, la combinación de sonidos más pura es la quinta, es decir, el intervalo musical entre dos notas cuyas frecuencias se relacionan como 3:2. (En nuestro ejemplo, estas notas son A y E.) Al escoger como la base la nota A4, iremos dos quintas arriba y abajo, tenemos la siguiente serie de 5 sonidos:

195.5556, 293.3333, 440, 660, 990

Estas frecuencias están más cerca de las notas: G3, D4, A4, E5 y B5. Vamos a transportarlas a la misma octava (multiplicando o dividiendo por 2 cuando es necesario) y calcular distancias entre las notas, tenemos:  

293.33 8:9 330.00 27:32 391.11 8:9 440.00 8:9 495.00 27:32 586.67
D4   E4   G4   A4   B4   D5

La distancia de 9/8 se llama tono (T). La distancia de 32/27 es igual a 1.5 tonos (TS). Esta serie de cinco intervalos musicales: T-TS-T-T-TS se llama escala pentatónica, y el sistema musical en que se usa esta escala, se llama pentafonía.

La pentafonía se usa en la mayoría de los sistemas musicales tradicionales, ya que es la escala más simple e intuitiva. Este es un ejemplo – un fragmento del tema andino «Sark’inani»:

NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.

Cabe mencionar que se puede escoger como base cualquiera de las 12 notas del piano y construir una escala pentatónica. Por ejemplo, las cinco teclas negras forman precisamente una pentafonía.

Escala diatónica

Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonido muy agradable. Dentro de la quinta, se encuentra un sonido más formando un triplete en que las frecuencias se relacionan como 4:5:6. Este triplete se llama armonía. La escala natural tiene una sola combinación armónica, las notas A-C-E. Al descubrir la armonía, los músicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera que toda la escala musical fue compuesta de armonías continuas, como esta:  

352 4:5 440 5:6 528 4:5 660 5:6 792 4:5 990 5:6 1188
F4   A4   C5   E5   G5   B5   D6

Vamos a construir una octava y calcular distancias entre las notas vecinas:  

264 8:9 297 9:10 330 15:16 352 8:9 396 9:10 440 8:9 495 15:16 528
C4 D4 E4 F4 G4 A4 B4 C5
do   re   mi   fa   sol   la   si   do

Esta serie de notas o distancias entre ellas se llama escala diatónica. Como habíamos dicho antes, la distancia de 9/8 es un tono. La distancia de 10/9 está muy cerca y se llama tono menor, y la distancia de 16/15 es aproximadamente igual a una mitad del tono, y se llama semitono. La serie de tonos (T) y semitonos (S): T-T-S-T-T-T-S, donde el semitono es el tercer intervalo, se llama tonalidad mayor. Para construir una tonalidad menor tenemos que iniciar esta secuencia desde la nota A: T-S-T-T-S-T-T. Aquí el semitono es el segundo. La diferencia entre estas tonalidades ya había sido descubierta por los músicos antiguos: la misma melodía tocada en tonalidades diferentes (mayor o menor), tiene un carácter diferente, lo que permite expresar sentimientos mediante la variación de la tonalidad de la música. Las canciones que usan una tonalidad mayor son alegres y vivaces, mientras que las que usan una tonalidad menor son tristes y melancólicas.

Como un ejemplo ilustrativo, podemos escuchar este fragmento de la balada folklórica rusa «No Es De Noche» en la tonalidad de «Sol menor» (Gm):

NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.

La misma melodía tocada en la tonalidad de «Do mayor» (C) tiene un carácter mucho más alegre y optimista:

NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.

Otra vez, podemos escoger como base para construir una tonalidad, cualquiera de las 12 notas, 24 diferentes en total. Estas tonalidades llevan el nombre de la nota principal y la palabra “mayor” o “menor”, por ejemplo, «Do mayor» o C, «La menor» o Am, etc.

Las distancias de las notas en una tonalidad mayor respeto a la nota principal y sus nombres:  

264 297 330 352 396 440 495 528
C4 D4 E4 F4 G4 A4 B4 C5
1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2
primera segunda tercera cuarta quinta sexta séptima octava

Escala cromática

Al descubrir las tonalidades, los músicos antiguos quisieron tener la posibilidad de pasar libremente entre ellas. Evidentemente, para hacerlo, se necesita construir escalas mayores y menores comenzando con cada una de las siete notas que tenemos. Los resultados de esos cálculos están presentados en la siguiente tabla:  

A   275.00 293.33   330.00   366.67   412.50 440.00   495.00
Am 264.00   297.00   330.00 352.00   396.00   440.00   495.00
B   278.44   309.38 330.00   371.25   412.50   464.06 495.00
Bm   278.44 297.00   334.13   371.25 396.00   445.50   495.00
C 264.00   297.00   330.00 352.00   396.00   440.00   495.00
Cm 264.00   297.00 316.80   356.40   396.00 422.40   475.20  
D   278.44 297.00   334.13   371.25 396.00   445.50   495.00
Dm 267.30   297.00   334.13 356.40   400.95   445.50 475.20  
E   275.00   309.38 330.00   371.25   412.50 440.00   495.00
Em 264.00   297.00   330.00   371.25 396.00   445.50   495.00
F 264.00   293.33   330.00 352.00   396.00   440.00 469.33  
Fm 264.00 281.60   316.80   352.00   396.00 422.40   475.20  
G 264.00   297.00   330.00   371.25 396.00   445.50   495.00
Gm 267.30   297.00 316.80   356.40   396.00   445.50 475.20  
  C   D   E F   G   A   B

Esta tabla tiene 25 sonidos diferentes, ¡18 nuevos! Y no es todo, porque cada uno de esos nuevos sonidos puede engendrar su propia escala, tanto mayor como menor – ¡la octava al final va a tener cerca de 100 notas! Sería sumamente difícil tocar un instrumento de tantas teclas. Los griegos antiguos hicieron un compromiso: introducir notas “extra” sólo donde el intervalo entre las notas vecinas sea un tono entero (C-D, D-E, F-G, G-A, A-B), de manera que la distancia mínima dentro de una octava sea igual a un semitono. Como resultado de esto, las notas adicionales obtenidas ocupan las posiciones donde se encuentran las teclas negras del piano.

Recordemos al famoso matemático y filósofo griego Pitágoras, quien fue a la vez un buen músico. Esa combinación de talentos le permitió descubrir la escala natural, los principios básicos de la acústica musical y construir un sistema sintónico que ha existido por más de 2,000 años.

Pitágoras propuso derivar todas las 12 notas de puras quintas (de la misma manera que nosotros lo hicimos para construir una escala pentatónica). Vamos a empezar otra vez con la nota A4 que tiene la frecuencia de 440Hz, pasar quinta-a-quinta 6 veces arriba, sucesivamente multiplicando la frecuencia por 3/2, y 6 quintas abajo, dividiendo por 3/2:  

38.63 57.94 86.91 130.37 195.56 293.33 440.00 660.00 990.00 1485.00 2227.50 3341.25 5011.88
D#1 A#1 F2 C3 G3 D4 A4 E5 B5 F#6 C#7 G#7 D#8

La primera y la última nota de esa escala es la misma nota D#, aúnque de diferentes octavas, la D#8 está a siete octavas arriba de l # . Aquí surge un problema: en esta escala no es posible pasar directamente de D#1 a D#8 octava-a-octava (multiplicando por 2 la frecuencia). ¡Las 7 octavas no son iguales a las 12 quintas! Esta discrepancia (que es igual a (3/2)12 : 27 = 1.013643 aproximadamente, o sea, 0.2346 de semitono) lleva el nombre de coma pitagoreana. Si queremos preservar pura la quinta, tenemos que cambiar la octava, que es una distancia aún más fundamental en la música.

La última reforma musical fue inspirada por un organista alemán, Andreas Werckmeister, a fines del siglo XVII. Él propuso hacer todos los semitonos iguales. El problema planteado así tiene una única solución: la distancia musical entre cada una de las notas vecinas debe ser igual a la raíz doceava de 2, o sea, 21/12. Este sistema por lo general se denomina sintonización bien temperada o temperamento igual. La escala de 12 semitonos iguales se llama escala cromática. Cada semitono a su vez se divide en 100 partes iguales que se llaman centavos de semitono. El temperamento asimismo altera la quinta, que llega a ser un poco más corta, y modifica también las demás distancias naturales, quedando pura únicamente la octava. Las ventajas obtenidas son evidentes: ahora se puede pasar libremente entre tonalidades, y de esta manera, se logró eliminar la coma pitagoreana.

Finalmente vamos a comparar la escala natural, la escala pitagoreana y la escala cromática:  

Natural   275.00   302.50 330.00 357.50   385.00 412.50 440.00   495.00
Pitagoreana 260.74 278.44 293.33 309.03 330.00 347.65 371.25 391.11 417.66 440.00 463.54 495.00
Cromática 261.63 277.18 293.66 311.13 329.63 349.23 369.99 392.00 415.30 440.00 466.16 493.88
  C C# D D# E F F# G G# A A# B

Para calcular la frecuencia de cada nota en la escala cromática, dada su escala (a cuantas teclas está de la nota de etalón La), se usa la siguiente fórmula:

Fi = 440 * 2i/12

Aquí i es la escala o la distancia de la nota de etalón. Si es negativa, la tecla está a la izquierda. Ejemplo: la frecuencia de la nota Do (que está a 9 teclas a la izquierda) es:

440 * 2-9/12 = 261.63

Referencias:

El Mundo MIDI: Conceptos Musicales. Algunas bases sobre la Música y su representación gráfica

CANCIONERO: Musica – Escritura musical en as

PHYSICS AND PSYCHOPHYSICS OF MUSIC (en inglés)

Producido por Andrei Volkov y Jorge Merino



et cetera